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기초적인 미적분 지식이 있다면, 가속도는 속도-시간 그래프로 이해하면 편하다.

다들 교과서 등에서 $$v^2 - v_0^2=2as$$와 같은 공식들을 외웠을 것이다.

그러나 나는 이런 공식들은 사용하지 않을 생각이다.

그런데도 그 공식들을 자연스럽게 유도할 수 있을 정도로 한 차원 높은 방식으로 이해할 것이다.

이전 글에서 우리는 s = vt, v = at 두 공식을 이해했다.

이번 글에서 다루는 내용만 잘 이해한다면 사실 단순고전역학 문제는 속도-시간 그래프 하나로 모조리 풀어버릴 수 있다.

v=at를 미분해보면

$$\frac{dv}{dt}=a$$

이므로 속도를 미분하면 가속도이고,

v=at를 적분해보자면

$$\int_{}^{} v dt = \frac{1}{2}at^2 + C $$

여기서 v=at이므로

$$\int_{}^{} v dt = \frac{1}{2}vt + C $$

s=vt이므로

$$\int_{}^{} v dt = \frac{1}{2}s + C $$

1/2이 있긴 하지만 일단 무시하고 보면, 속도를 적분하면 변위가 나온다.

따라서 다음과 같다.

속도-시간 그래프는 다음과 같이 그릴 수 있다.

위와 같은 그래프를 공식으로 표현하면 어떨까?

$$y=mx\ (m은\ 기울기)$$ 라고 했을 때, y축이 속도 (v), x축이 시간 (t), 기울기가 가속도 (a)이므로 다음과 같이 표현할 수 있다.

$$v=at$$

속도-시간 그래프는 위에서 본 그 식의 그래프인 것이다.

그래프의 넓이는 적분이고 기울기는 미분이므로

이 그래프의 기울기와 넓이를 따져보면 가속도와 변위를 전부 구할 수 있다.

단위를 한번 따져보자.

변위를 구하기 위해서 세로축과 가로축을 곱하면 $$\frac{m}{s} \times s = m$$

가속도를 구하기 위해 세로축에 가로축을 나누면 $$\frac{m/ s}{ s} = m/s^2$$

단위들도 쫙 쫙 맞아떨어진다.

예시를 한번 보도록 하자.

ex) 물체가 10 (m/s) 에서 속력이 일정한 가속도로 감소하여 2초 이후 정지한 경우

일정한 가속도 = 일정한 기울기 = 기울기가 같다

정지 = 속력이 0

따라서 속도-시간 그래프를 다음과 같이 그릴 수 있다.

이때 변위(넓이)는? $$10 (m/s) * 2 (s )/ 2 = 10 (m)$$

가속도(기울기)는? $$(0-10) (m/s) / 2 (s)= -5 (m/s^2)$$

그럼 이 물체는 멈추기까지 10m를 이동했고, 가속도는 -5m/s^2 였음을 알 수 있다.

가속도가 0일 경우는 어떻게 될까?

가속도 = 기울기 이므로 기울기가 0인 x축에 평행한 직선이 그려질 것이고, 속도의 변화는 없을 것이다.

물체가 멈추는게 아니라 물체가 등속도로 이동하게 될 것이다.

물체에 '힘'을 주면 속도가 변하는 것처럼 보인다.

그러나 뉴턴이 잘 관찰해본 결과, 속도가 변하는 것이 아니라 가속도가 변한다.

그리고 이를 정리한 것이 뉴턴 제 2법칙이다.

$$ F=ma $$

가속도가 변해서 속도도 변하는 것일 뿐이다.

잠깐 벡터와 스칼라를 간단하게 설명하자면, 벡터는 방향이 있는 물리량, 스칼라는 방향이 없는 물리량이다.

가속도는 대표적인 벡터이고, 질량은 대표적인 스칼라이다.

그리고 벡터는 정수배하여 방향은 그대로 유지하면서 (또는 정반대로 바꾸면서) 크기를 늘리거나 줄일 수 있다.

F=ma도 똑같다. a는 벡터고 m은 스칼라이므로 F는 a라는 벡터를 m만큼 정수배한 벡터인 것이다.

보통은 알짜힘 (F)이 주어지면 질량 (m)으로 나누어 물체의 가속도 (a)를 얻는다.

이 순서의 대표적인 예외는 중력인데, 중력은 모든 물체가 같은 힘 (F)이 아니라 같은 가속도 (a)를 갖도록 만든다.

그래서 중력은 a (= g = 9.8)에 질량(m)을 곱해서 중력 (F)을 얻는다.

ex) 자유 낙하하고 있는 5kg 물체를 중력과 반대 방향으로 5N 당길 때, 이 물체의 가속도의 크기는?

중력부터 위의 서술된 순서로 구해보면, F = 5 * 9.8 = 49 (N)

중력과 반대로 작용하는 힘만큼 빼보면 알짜힘은 아래 방향으로 49-5 = 44 (N)이다.

그럼 가속도는? F = ma에서 F에 44, m에 5를 대입하면 a = 8.8 (방향은 알짜힘과 같은 아래 방향!)

물리는 물(物)체에 담긴 이(理)치를 연구하는 학문이다.

물체는 움직이거나 움직이지 않거나 의 이분법으로 나눌 수 있다.

움직이지 않는 물체는 따로 표현할 방법을 찾지 않아도 괜찮아 보인다.

그렇다면 움직이는 물체의 운동은 어떻게 기술하면 좋을까?

물리에서는 운동을 기술하기 위한 기준을 '시간'으로 잡았다.

따라서 우리는 어떤 물체의 운동을 '2초에 북쪽으로 4m 움직였다' 와 같이 분석하게 되었다.

여기서 '북쪽으로 4m'가 변위, '2초'가 시간임을 알 수 있다.

근데 여러 물체를 관측하다 보니, A도 '2초에 북쪽으로 4m' 움직였고, A 기준으로 남쪽 8m 뒤에 있던 B도 '2초에 북쪽으로 4m' 움직였다.

둘 사이의 뭔가 공통점이 있는 것 같은데... 이를 어떻게 표현할까?

이를 표현하기 위해 '속도'라는 개념이 도입됐다.

속도란 일정 시간동안 이동한 거리 (+방향)이다.

운동을 설명하는 기준은 시간이므로, "같은 시간이 흘렀다고 쳤을 때" 움직인 거리를 파악하는 것이다. 따라서

$$속도 = 거리 / 시간$$

$$ v = s / t $$

v= velocity

s= spatium

t = time

A와 B는 둘 다 같은 시간 동안 같은 방향으로 같은 거리를 갔으므로, 같은 속도로 운동한다고 할 수 있다.

그리고 2초에 8m를 가나, 3초에 12m를 가나 모두 같은 속도임을 알 수 있다.

(같은 1초가 흘렀다고 치면 둘 다 4m를 이동할 것이므로)

$$ 8/2 = 12/ 3 = 4 $$

어떤 운동의 속도까지 분석했다고 치자. 그런데 만약 그 물체의 속도가 변한다면 그 변화는 어떻게 표현해야 할까?

우리는 변위가 변했을 때, 이를 비율화하여 속도를 얻을 수 있었다.

그렇다면 속도가 변했을 때, 이것 또한 비율화할 수 있을 것이며, 이를 가속도라고 한다.

앗! 갑자기 뇌정지가 오는 이유가 뭘까?

속도까지는 직관적인데, 가속도는 그렇지 않기 때문이다!

그렇다면 속도까지만 보면 되지 왜 이런 비직관적인 가속도까지 구하는 걸까?

그 이유는 물체에 힘을 줬을 때 변하는 것은 속도가 아니라 가속도이기 때문이다.